Integrator digital

1. Introducere

Pentru un semnal de timp continuu x (t), integrarea este definită de:

unde τ este o constantă omogenă la un moment dat când y (t) are aceleași dimensiuni ca și x (t). Pentru a realiza o integrare adevărată, vom seta τ = 1 .

Funcția de transfer sinusoidal a integratorului este:

În condiții sinusoidale, un integrator este deci caracterizat printr-o schimbare de fază și printr-un câștig de decibeli care scade la -20 dB pe deceniu.

Acest document arată cum se realizează integrarea unui semnal eșantionat xn. Perioada de eșantionare este notată Te .

2. Integrator digital perfect

2.a. Design filtru

Fie yn semnalul digital obținut prin eșantionarea y (t). Ecuația diferențială poate fi, de asemenea, scrisă:

Înlocuind derivata cu o diferență finită, obținem:

Relația precedentă are următoarea formă:

Această relație de recurență definește un filtru recursiv (cu răspuns de impuls infinit), a cărui funcție de transfer în Z este:

Pentru a reprezenta răspunsul său în frecvență, putem seta Te/τ = 1, deoarece acest raport nu are niciun efect asupra formei semnalului de ieșire, ci doar asupra amplitudinii sale:

figA.pdf

Nu obținem deloc comportamentul de integrare dorit, deoarece schimbarea de fază ar trebui să fie constant egală cu -π/2. Soluția constă în scrierea unei diagrame digitale cu doi pași (de tip Adams-Moulton):

figB.pdf

Astfel obținem un integrator foarte bun, cu excepția apropierii frecvenței Nyquist (fe/2).

2.b. Efectuarea filtrării

Pentru a efectua filtrarea unei liste de eșantioane, observăm că calculul rezultatului începe de la y1 și că trebuie să alegem o valoare pentru y0. Vom lua y0 = 0 .

Iată o funcție care efectuează filtrarea unei liste de eșantioane stocate în memorie, pentru un filtru recursiv cu un numărător și un numitor de gradul 1:

Aplicăm filtrul anterior unui impuls:

figC.pdf

Răspunsul la impuls al unui integrator este un pas. Nu tinde spre zero atunci când n se apropie de infinit (este constant), ceea ce arată că integratorul este instabil.

2.c. Test integrator

O modalitate bună de a testa un integrator este să-i dai un semnal de fereastră. Prin urmare, vom digitaliza un semnal de undă pătrată livrat de un GBF cu cardul de achiziție și următorul script:

Aplicăm filtrul integrator. Câștigul este redus alegând o valoare mai mică de b0 = b1 .

figD.pdf

Observăm o deriva puternică, datorită prezenței unei componente de frecvență zero în semnalul xn, deși este foarte slabă.

Când semnalul x (t) include o componentă de frecvență zero pe care se dorește să o integreze, trebuie utilizat acest integrator. Cu toate acestea, trebuie compensată pentru anularea oricărei schimbări accidentale.

3. Comandați primul filtru trece jos

3.a. Filtru analogic

Pentru a stabiliza filtrul de integrare astfel încât să nu aibă nicio derivare de ieșire, câștigul la frecvență zero trebuie readus la o valoare finită. O modalitate ușoară de a face acest lucru este să folosiți un filtru trece jos de prima comandă.

Luați în considerare un filtru trece-jos a cărui funcție de transfer este:

Acest filtru se integrează aproape când .

Ecuația diferențială asociată cu acest filtru este:

3.b. Filtru digital

Discreționarea ecuației diferențiale duce la următoarea relație:

Astfel, obținem un filtru recursiv definit prin:

Funcția sa de transfer în Z este:

Polul este z = r, care este strict mai mic de 1, ceea ce face ca filtrul să fie stabil. Pentru ca domeniul frecvenței de integrare să fie larg, raportul Te / τ trebuie să fie scăzut și, prin urmare, r să fie aproape de 1. De exemplu, dacă dorim un domeniu de integrare care începe la aproximativ o sutime din frecvența de eșantionare, alegem Te/τ = 1/100 sau mai puțin. Pentru forma răspunsului în frecvență, putem alege în mod liber coeficientul factorului în H, care are doar un efect asupra amplitudinii semnalului de ieșire, nu asupra formei acestuia.

figE.pdf

Acest filtru trece-jos are o frecvență de tăiere aproximativ egală cu o miime din frecvența de eșantionare și un domeniu de integrare care începe aproximativ la o sutime din această frecvență. Să vedem răspunsul la impuls al acestui filtru:

figF.pdf

Răspunsul la impuls tinde spre zero deoarece filtrul este stabil, dar scăderea este lentă, mai ales că r este aproape de 1. Timpul de răspuns este de ordinul τ. Omologul unui filtru integrator de bandă largă este, prin urmare, un timp de răspuns foarte lung, care poate fi enervant în timpul tranzitorilor (schimbarea frecvenței, de exemplu). Prin urmare, va fi necesar să alegeți τ cât mai exact posibil în funcție de frecvența minimă a semnalelor care urmează să fie integrate.

3.c. Test de filtrare

Iată aplicarea filtrului la semnalul pătrat. Valorile lui b0 = b1 sunt alese pentru a reduce câștigul.

figG.pdf

După regimul tranzitoriu de durată τ, observăm o stare de echilibru cu o schimbare de ieșire relativ mare, dar constantă.

Pentru a obține o integrare adevărată, care corespunde τ = 1 în relație, este necesar să se utilizeze:

figH.pdf

4. Filtru integrator cu tăiere zero frecvență

Filtrul anterior poate fi îmbunătățit prin anularea câștigului la frecvență zero. Aceasta este pentru a face un filtru de trecere a benzii cu o frecvență de bandă de trecere foarte joasă. Un astfel de filtru poate fi definit de următoarea funcție de transfer Z:

unde r este un parametru apropiat de 1 dar mai mic de 1. Câștigul său la frecvența zero este într-adevăr zero din cauza zero la z = 1. Relația de recurență este:

care este un caz special cu următoarea formă generală:

Iată un exemplu:

figI.pdf

Iată funcția care efectuează filtrarea primelor două valori y0 = y1 = 0:

și aplicarea la semnalul de undă pătrată:

figJ.pdf

Obținem un semnal de ieșire fără offset. Pe de altă parte, răspunsul tranzitoriu este mai amplu.

Pentru a obține o integrare adevărată, este suficient să setați g = τ .