Pendul amortizat forțat
Știm că ecuația pendulului simplu alcătuit dintr-o masă la capătul unui fir atârnat într-un punct fix și fără frecare este de forma
unde l este lungimea pendulului și g este accelerația gravitației. Este o mișcare cu 2 grade de libertate (aveți nevoie de 2 condiții inițiale pentru a rezolva ecuația). Mișcarea unui pendul simplu este întotdeauna regulată. Dacă există frecare, mișcarea este amortizată și masa revine la poziția sa de echilibru, care este un punct de atracție fix. Pe de altă parte, putem avea un sistem disipativ care poate da regimuri haotice dacă adăugăm frecare și întreținere; ecuația va fi atunci
unde 2 este coeficientul de amortizare și este pulsația corectă a sistemului. Vom seta astfel încât o revoluție completă să corespundă x = 1 și astfel încât întreținerea să aibă o perioadă de unitate; atunci avem și
Complot ciudat de atractiv
x fiind (până la un factor) unghiul pendulului cu verticala, putem identifica x cu x + 1 care reprezintă același punct. De fapt, vom lua partea fracționată a lui x dacă x> 0 și partea fracționată a lui x crescută cu 1 dacă x cardul perioadei-1, care este o stroboscopie a perioadei egală cu cea a întreținerii, adică - să spunem că va lua în considerare punctele spațiului de fază atins când timpul este multiplu al perioadei, de exemplu pentru t = 0, 1, 2, 3.
Luăm ecuația în forma care este într-adevăr forma anterioară (stabilim și).
Alegem c = 0,2 și
> a: = op (1, op (1, p)): (extragem lista de puncte)
> list1: = op ([]): for i to (nops (a) -1)/10 do
op (2, op (10 * i, a))] fi od: (luăm partea fracționată dacă x> 0, altfel 1 + partea fracționată)
Structura fractală în strat subțire a atractorului este văzută cu atât mai bine cu cât numărul de puncte este mai mare, ceea ce prelungește și mai mult timpul de calcul. Această structură este caracteristică fenomenului de întindere-pliere, operație de amestecare care duce la haos.
Comportament în funcție de amplitudinea forțării
Să ne întoarcem la o amplitudine de forțare scăzută; după un regim tranzitoriu, pendulul oscilează regulat de ambele părți ale poziției sale de echilibru, ceea ce duce la o elipsă în planul de fază (x, u). Dacă forțarea crește, crește și amplitudinea oscilațiilor și, dacă aceasta depășește o jumătate de tură, pendulul va putea efectua rotații complete: pendulul se blochează.
Observăm apoi un regim tranzitoriu haotic, din care pendulul iese să se fixeze într-unul din cele trei regimuri posibile care sunt fie un regim de oscilații regulate, fie un regim în care pendulul se rotește regulat în aceeași direcție la frecvența forțând, într-un fel sau altul. Alegerea regimului final depinde de condițiile inițiale; există trei bazine de atracție:
trepte = 0,1, linecolor = roșu, scenă = [t, x]); (3 condiții inițiale)
Există 3 regimuri posibile pentru aceleași valori ale parametrilor în funcție de starea inițială și, prin urmare, trei atractori. Există multistabilitate.
Comportamentul este de fapt complex și foarte sensibil la valorile parametrilor. Pentru un vecin de 2.17, sistemul nu reușește să se fixeze pe unul dintre cele trei regimuri anterioare, iar atragătorul devine haotic conform unui scenariu care amintește o intermitență:
Cu opțiunea scenă = [t, x], obținem:
Sistemul se rotește o vreme într-o direcție, apoi schimbă brusc direcția.
Să urmărim atractivul hărții perioadei-1 prin același program ca și cel folosit pentru atragătorul ciudat, timpul fiind între 100 și 800:
Trebuie să comparăm această figură cu figura 9.1 din care este schița. Vedem desenul atrăgătorului ciudat cu structura sa internă.
Dacă mărim forțarea, fazele haotice se strâng și regimul devine sincer haotic.
Pentru valori mai mari ale forțării, se găsesc regimuri regulate, apoi din nou haotice pentru valori chiar mai mari.
Oscilator gratuit
Acesta este oscilatorul cu două godeuri, numit și oscilator Duffing.
Ecuația oscilatorului anarmonic liber neecranat este de formă
Prin multiplicare și integrare, vine
care este interpretat ca conservarea energiei mecanice suma energiei cinetice (masa fiind egală cu 1) și a energiei potențiale, reprezentată după cum urmează:
Este într-adevăr un oscilator cu două godeuri: avem două puncte fixe pentru care sunt centrele pentru oscilatorul și godeurile neamortizate dacă acesta din urmă este amortizat și un punct de șa pentru x = 0.
Să desenăm portretul de fază luând mai multe condiții inițiale:
Luați în considerare acum oscilatorul amortizat, cu ecuație
Să desenăm portretul de fază:
Din cauza fricțiunii, energia mecanică scade, punctul se întoarce în sensul acelor de ceasornic pe măsură ce se apropie; la un moment dat, intră într-unul din cele două puțuri și se învârte în jurul său până la poziția sa finală în partea de jos a puțului. Deoarece sistemul depinde de doi parametri (două grade de libertate), nu există haos posibil.
Oscilator forțat
Nu mai este cazul dacă introducem o forțare sinuoidală, așa cum este cazul ecuației
Să desenăm noul portret de fază, cu:
Vedem că traiectoria este haotică. Oscilatorul se rotește uneori în jurul unui punct fix, alteori în jurul celuilalt sau în jurul ambelor, fără să reușească să repare.
Putem desena atractivul hărții perioadei 1 a oscilatorului. Este necesar ca acest lucru să ia o forțare a perioadei 1 a formularului; aceasta echivalează cu împărțirea la 4 și la 2; luăm:
Atractorul se îngroașă dacă fricțiunea este redusă.
De asemenea, putem desena simultan 4 hărți ale timpului-1 la momente diferite, trasând cu pointplot3d un punct din 5, corespunzând 4 puncte pe perioadă, deoarece pasul de integrare este 0,05 și perioada este 1 Punctele aceleiași hărți sunt toți au pus aceeași abscisă luând partea fracționată a timpului:
Ecuația pendulului
Pendulul parametric neamortizat are ecuația generală
Această ecuație se obține atunci când unul dintre parametrii pendulului suferă o modificare în timp, de exemplu pentru un pendul simplu al cărui punct de atașament oscilează vertical.
Dacă h (t) este de forma obținem ecuația
Când vine vorba de leagăn, fiecare 2 persoane împinge pe o parte; există o rezonanță parametrică atunci când frecvența excitatorului este dublă față de frecvența naturală a pendulului.
Un alt exemplu de pendul parametric este furnizat de un ac magnetizat plasat în centrul unei perechi de bobine Helmhotz în care este trecută suprapunerea unui curent continuu și a unui curent alternativ. Acul este supus la câteva forțe al căror moment este; ecuația sa este scrisă, luând în considerare o amortizare a fluidului
unde este unghiul acului cu direcția câmpului amplitudinii fixe momentul de inerție al acului, m momentul magnetic al acului. Această ecuație este într-adevăr cea a unui pendul parametric.
Evoluția traiectoriei
Trăiți în funcție de t pentru și în ecuația parametrică a pendulului:
Când amplitudinea este scăzută, excitatorul dă energie pendulului și amplitudinea acestuia din urmă crește. Dar perioada pendulului crește și odată cu amplitudinea, ceea ce face ca excitatorul să se deplaseze treptat și amplitudinea să scadă. Deci avem bătăi.
În prezența amortizării, bătăile scad rapid și amplitudinea regimului forțat devine constantă:
Perioada oscilațiilor este dublă perioadei excitatorului.
Dacă mărim amplitudinea pendulului crește și, din cauza tranzitorilor, unghiul va depăși în curând; pendulul se oprește. Căci găsim:
Pentru aceeași valoare a parametrilor, există trei regimuri permanente diferite în funcție de condițiile inițiale: oscilații regulate la o perioadă dublă față de cea a excitatorului, un regim în care pendulul se rotește întotdeauna în aceeași direcție la frecvența excitatorului și o regim identic în direcția opusă. Există multistabilitate.
Dacă crește și mai mult, pendulul nu se poate așeza pe unul dintre cele trei regimuri, dar sare constant de la unul la altul din cauza tranzitorilor: traiectoria devine haotică.
Complotul atrăgătorului
Regimul este apoi haotic:
Pentru a trasa atractivul, schimbăm t în și x în astfel încât să avem o perioadă de 1 pentru x și 0,5 pentru t. Trebuie apoi să înmulțim al doilea membru cu:
> list1: = op ([]): for i to (nops (a) -1)/10 do
dacă op (1, op (10 * i, a))> 0 atunci list1: = list1,
[frac (op (1, op (10 * i, a))), op (2, op (10 * i, a))] else list1: = list1,
[1 + frac (op (1, op (10 * i, a))), op (2, op (10 * i, a))] fi od:
Ripples sunt din nou rezultatul procesului de întindere-pliere a ecuațiilor diferențiale.
Putem obține, de asemenea, o mișcare haotică cu un ac magnetizat supus la două câmpuri magnetice, unul fix și celălalt rotitor cu o pulsație La un moment dat, acul face un unghi cu câmpul fix și, unghiul câmpului rotativ cu câmpul fix fiind un unghi cu câmpul rotativ; prin urmare, momentul forței magnetice este ecuația, obținută prin proiectarea pe axa perpendiculară pe planul de mișcare
pentru mișcare neamortizată.
Ecuația poate fi scrisă într-o formă simplificată, adăugând o frecare fluidă, notând x unghiul în loc de
Luăm c = 0,1, înmulțim t și x cu 2 pentru a avea o perioadă de 1 pentru x și 2 pentru t; este apoi împărțit la 2 și putem scrie
Dinamica este complexă. Observăm un atractiv haotic atunci când se atinge o valoare apropiată de 0,7; acest atragător este atins de o cascadă de dublare a perioadei, după cum putem vedea prin reprezentarea a 3 traiectorii:
> pentru i în [0.64,0.67,0.68] do p [i]: = phaseportrait ([D (x) (t) = u,
Pentru (desenul superior), perioada este 2, care este perioada câmpului rotativ.
Pentru (desenul din mijloc), perioada este 4 (de la 85 la 89 de exemplu); este dublul perioadei câmpului rotativ.
Pentru perioada sa dublat din nou (de la 85 la 94 de exemplu); este de 4 ori perioada câmpului rotativ.
Pentru că sistemul este haotic; oscilează neregulat și sare din când în când una sau mai multe viraje; atragătorul său ciudat va fi atragătorul A; să trasăm traiectoria, apoi atragătorul:
> list1: = op ([]): for i to (nops (a) -1)/20 do
> list2: = op ([]): for i to nops ([list1]) do
dacă op (1, op (i, [list1])))> 0,7 atunci list2: = list2,
else list2: = list2, [list1] [i] fi od:
Pentru o valoare apropiată de 0,725, busola tinde să se prindă pe câmpul rotativ; atractivul crește brusc și devine atractiv B: suferă o criză:
Când continuă să crească, avem o succesiune de traiectorii regulate și haotice cu un atractor de tip B.
Traiectoria unei mingi care sare între doi pereți respectă legea de reflexie a lui Descartes la fiecare impact (unghiul de reflexie egal cu unghiul de incidență). Această lege simplă poate duce la o traiectorie haotică dacă mingea sare între un pătrat și un cerc cu același centru în interiorul pătratului.
Biliard între două cercuri
Să începem cu cazul simplu al unei mingi care sare între două cercuri cu același centru.
Cele 2 cercuri își au centrele în O și sunt de rază 1 și 2. Punctul de plecare este punctul, iar primul punct este pe cercul de rază 1 și pe linia înclinată de 13 pe orizontală, cu coordonate (Le punctul următor pe cercul mare va fi simetric în raport cu raza care trece prin Prin urmare avem k fiind o constantă, adică
Mai mult decât atât, distanța Pentru a elimina simetricul în comparație cu centrul care ar satisface ecuațiile, se adaugă condiția Punctele pare sunt obținute în acest fel, punctele impare au o distanță de centru egală cu 1.
x1: = cos (alfa); y1: = sin (alfa); (punctul inițial)
> list: = line ([x0, y0], [x1, y1]): pentru i la 22 faceți dacă frac (i/2) <> 0 atunci (dacă n impar)
elif frac (i/2) = 0 atunci (dacă n pare)
x0: = x1: y0: = y1: x1: = x2: y1: = y2 fi od:
> list2: = list: (începem cu)
Eroarea este înmulțită cu 2 la fiecare reflecție, dar mișcarea nu este haotică, deoarece rămâne corelația dintre cele 2 mișcări vecine la origine. Să începem din nou cu o masă de biliard pătrată.
Masă de biliard pătrată
De data aceasta, mingea sare, urmând legea de reflexie a lui Descartes, între un cerc de rază 1 și un pătrat cu același centru al laturii 2.
Mingea începe de la punctul inițial; lovește cercul dacă valoarea absolută a distanței de la origine la linia inițială este mai mică decât raza cercului; această distanță d este dată de, unde p este ordonata la l ' originea liniei de ecuație este
Dacă, prin urmare, mingea lovește cercul, punctul de impact este comun liniei și cercului astfel încât valoarea absolută a diferenței absciselor să fie minimă, pentru a elimina cealaltă intersecție.
Traiectoria reflectată va fi apoi simetrică cu traiectoria incidentă față de normal, adică raza care trece prin Si este unghiul acestei raze cu orizontală unghiul traiectoriei reflectate cu serul orizontal va fi intersecția liniei reflectate trecând prin panta cu prima latură a pătratului întâlnită.
Pentru aceasta, căutăm cele 4 intersecții ale liniei cu cele 4 laturi sau extensiile laturilor; intersecția corectă va fi cea care intersectează latura și nu extensia acesteia și în direcția razei, adică proiecția razei reflectate pe rază trebuie să fie> 0.
Rămâne cazul în care traiectoria nu intersectează cercul. Apoi, intersecția se face pe pătrat și nu pe extensia acestuia la un punct diferit de punctul inițial. Unghiul reflectat este apoi opusul unghiului de incidență.
Toate acestea oferă următorul program:
> listă: = op ([]): pentru i la 100 do: p: = y0-tan (alfa) * x0:
d: = abs (p * cos (alfa)): (primul caz, particula lovește cercul)
c: = subs (sol [1], x): e: = subs (sol [2], x): if abs (x0-c)
apoi x1: = c: y1: = subs (sol [1], y) else x1: = e: y1: = subs (sol [2], y)
fi: (eliminăm cealaltă intersecție)
d2: = rezolva (subs (y = -a, eq), x): (intersecția corectă este cea care intersectează latura în direcția razei)
else x2: = d2: y2: = - a fi: list: = list, line ([x0, y0], [x1, y1]),
else x2: = d2: y2: = - a fi: list: = list, line ([x0, y0], [x2, y2]):
x0: = x2: y0: = y2: alfa: = - alfa fi od:
Traiectoria mingii este haotică și este supusă sensibilității la condițiile inițiale; dacă începem 2 mingi din același punct inițial cu unghiuri foarte apropiate, traiectoriile sunt foarte rapid deconectate.
- Vegetarian-vegan; Cuvintele vegetarianismului
- Thailanda O rață galbenă a devenit simbolul revoltei La Presse
- Transplant de rinichi
- Suzuki GSX-R1000RZ L8 MM Ride - Geneva
- Transplant hepatic (transplant hepatic) - societate franceză învățată medical d;